庞加莱的直谓原则（恶性循环原则）认为：如果一个概念的引入不依赖于包含此概念的总体就是直谓的，反之就是非直谓的。

　　罗素将“恶性循环原则”表述为“包含明显变元（约束变元）的任何东西都不能是这些变元的可能值，必须比这些变元的类型高”。

　　克莱瑟尔尝试提议，给定自然数集，可以直谓定义的集合就是HYP元素，并提出了直谓可证原则。

　　费夫曼把直谓理解为“反思”或者“伸展”，认为直谓是一个相对概念，而非绝对概念。

　　20世纪初，罗素开始致力于逻辑主义的还原计划。他的还原计划主要受到康托类理论和皮阿诺的符号逻辑的影响。罗素以极大的热情做了综合二者的工作，试图为自然数提供逻辑（或者集合论）基础，进而为整个数学提供逻辑基础。罗素的数学哲学也经历了某些转变。他在写作《数学原理》第二卷时注意到了康托类理论中的悖论，在分析类理论悖论的过程中发现了罗素悖论。同时他还注意到了弗雷格的工作与自己工作目标的相同，发现了弗雷格的算术基础中也有类似类理论中的悖论。罗素认为内涵公理的问题是，命题函数决定的任何性质都可以看做是对象。在《数学原理》第二卷的附录B中，罗素首次提出悖论的解决方案，标题为《类型论的信条》。每一个命题函数φ(x)是否有意义，依赖于命题函数的自由变元的取值范围。如果它的自由变元的取值范围是限制在变元的类型中，那么这个命题函数的真假是有意义的，反之就是无意义的。在合适的类型序下，每一个类的序高于类型中元素的序，进而规定公式x∈x， x x都是无意义的命题函数。a∈b有意义当且仅当b的类型比a的类型高。这就是简单类型论关于类理论的改进思想。可以说，简单类型论可以避免康托类理论所发现的那些悖论，而且也为皮阿诺算术公理系统提供了一个可以实现的模型。简单类型论仍是一个“类”理论，它背后的思想仍是任何类都可以独立于人的思想构造而存在的预设，只不过它规定了类的元素与类之间有类型上的区别。因此它背后的哲学支撑仍是柏拉图主义的实在论。但是接下来，罗素的思想似乎有了转变。他承认庞加莱的提法，即类型论的悖论根源于违背直谓性原则（恶性循环原则）的使用。庞加莱被认为是“准直觉主义者”，尽管他的哲学思想颇受争议，但是他提出的直谓原则无疑是在反对类理论中的柏拉图主义的实在论立场。

　　简单说，直谓原则（恶性循环原则）是说概念的定义不能预设一个总体，而这个总体包含所定义的对象。如果一个概念的引入不依赖于包含此概念的总体就是直谓的，反之就是非直谓的。罗素的一个很大贡献就是给出了恶性循环原则的形式化的描述：将“恶性循环原则”表述为“包含明显变元（约束变元）的任何东西都不能是这些变元的可能值，必须比这些变元的类型高”。

　　但是分支类型论的一个严重的问题就是使用了还原公理。罗素发现必须使用这条公理才可以得到自然数的归纳原理。然而此公理（不同层次的变元可以共有外延）却是非直谓的。虽然同意后期罗素、庞加莱观点的许多数学家会继续寻找数学的直谓基础，但是不会妥协于罗素的还原公理。

　　1960年克莱瑟尔尝试提议，给定自然数集，可以直谓定义的集合就是HYP元素。理由如下：如果一个W是自然数上可直谓定义的良序，α是其序型，那么就称序数α为直谓可定义的。如果一个集合X属于Rα，其中α是直谓可定义的，那么X就是直谓可定义的。很显然，在这个基础上，所有递归序数是直谓可定义的，那么按照克莱瑟尔的要求，所有HYP的成员都是直谓可定义的。反过来，如果直谓序数仅是那些按照“自展”条件生成：如果α是直谓序数，W是Rα中的良序且β是W的序型，那么序数β也是直谓可定义的。

　　克莱瑟尔还提出了直谓可证原则。20世纪70年代至20世纪末，直谓又被理解为“反思”或者“伸展”。这是费夫曼关于直谓的主要思想。他认为直谓是一个相对概念，而非绝对概念。例如承认了有穷主义序数概念，就会有与此相关的直谓性；承认集合论的累积分层也会有与此相关的直谓性。因此直谓是一个可运用到不同数学基础立场的概念，这些立场拒绝不同的实无穷论域。或许可以说，直谓分析的价值在于它逻辑地刻画出这些立场的界限，从而在哲学上给出这些立场之间的一种清晰的关系。

　　（作者单位：中国人民大学哲学院）

　　

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